Calculo Integral

Introduccion:

En el siguiente ensayo hablare sobre el calculo Diferencial y del calculo integral para saber un poco mas de la materia tomando en cuenta su significado, un poco de historia, algunas funciones y tambien algunos ejemplos de problemas de la materia.

La palabra cálculo proviene del latín (calculus), que significa contar con piedras siendo una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes.

El avance que obtuvieron los griegos en cuanto al álgebra y la geometría, los llevó a la constricción de una nueva rama de las matemáticas llamada álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas teniendo como consecuencia una gran influencia en el cálculo.

A nivel de los métodos integrales, la mayor fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri pensado como un método universal de la geometría. Así, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles los puntos eran a dimensionales así que la integración definida en forma de cuadraturas geométricas adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII.

Después de una larga evolución en el siglo XIII el cálculo tuvo un gran avance pero en el siglo XIX ya se manejaban fundamentos sólidos basados en cantidades finitas así como la definición de los límites derivadas integrales y con los números reales.

Se crearon varias ramas de las matemáticas en ecuaciones diferenciales, en relación con el análisis matemático en este siglo, se fundamento en un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de límites y de funciones que fueron el tema central en este siglo.

Bernard Bolzano fue el pionero en el análisis de funciones, estudió profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo, obtuvo, entre otras funciones originales la función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como función de Bolzano

Calculo Diferencial.

Ahora que ya vimos un poco de historia tocare el tema del calculo diferencial.

El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial, fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros y el principal estudio del cálculo diferencial es la derivada. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x). El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor.

Algunas aplicaciones del cálculo diferencial son:

La recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia que consideremos.

Si conocemos la ecuación de la recta tangente ta(x) a la función f(x) en el punto "a" podemos tomar ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del punto "a". Esto quiere decir que si tomamos un punto "a + h" y lo evaluamos tanto en la función como en la recta tangente, la diferencia f(a + h) − t(a + h) será despreciable frente a "h" en valor absoluto si "h" tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto "a" tanto más precisa será nuestra aproximación de f(x).

Para una función f(x) derivable localmente en el punto "a", la recta tangente a f(x) por el punto "a" es:

ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a)

En la física sea el concepto de "derivada temporal" el cambio en el tiempo que se requiere para la definición precisa de varios conceptos importantes. En particular, las derivadas con respecto al tiempo de la posición de un objeto son significativas en la física Newtoniana como la aceleración, velocidad y sobre aceleración, así como derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones.

En seguida habare sobre el calculo integral

Calculo integral

Es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Aplicaciones del cálculo integral

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas por ejemplo al considerar una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener para llenarla, el área de la superficie para cubrirla, y la longitud de su borde para atarla. Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales así como para poder encontrar el área bajo la curva.

Conclucion: ya para concluir con mi tema puedo observar que las matematicas, el algebra, el calculo y todas esas materias que se nos hacen tan aburridas y pesadas llevan una larga historia y metodologia a lo largo de los años y que aunque no nos gusten nada nos serviran de algo en un futuro en nuestra vida tanto profecional como en nuestra vida cotidiana.